题目回顾
在解析这道题之前，我们先来回顾一下题目内容：
题目：已知函数\(f(x) = \frac{1}{x} + x^2\)，定义在实数集\(R\)上。若存在实数\(a\)和\(b\)，使得对于任意\(x \in R\)，都有\(f(x) + f(a) + f(b) = 0\)成立。求实数\(a\)和\(b\)的取值范围。
解题思路
这道题是一道涉及函数性质的题目，需要运用到函数的奇偶性、单调性以及导数等知识。下面我们来详细解析解题步骤。
步骤一：分析函数的奇偶性
首先，我们观察到\(f(x) = \frac{1}{x} + x^2\)是一个奇函数，因为对于任意\(x \in R\)，都有\(f(-x) = -f(x)\)。这意味着如果\(f(x) + f(a) + f(b) = 0\)，那么\(f(a)\)和\(f(b)\)也必须是奇函数。
步骤二：利用函数的单调性
接下来，我们分析\(f(x)\)的单调性。对\(f(x)\)求导，得到\(f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 2x\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)。因此，\(f(x)\)在\((-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})\)和\((\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty)\)上单调递增，在\((-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\)上单调递减。
步骤三：求解\(a\)和\(b\)的取值范围
根据题目条件，我们有\(f(x) + f(a) + f(b) = 0\)。由于\(f(x)\)是奇函数，我们可以将上式写为\(f(x) + f(a + b) = 0\)。因为\(f(x)\)是单调递增函数，所以\(f(x) + f(a + b) = 0\)的解只可能存在于\(a + b = 0\)的情况下。
又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(a + b) = -f(a) = f(-a)\)。因此，我们得到\(f(a) = f(-a)\)，即\(a\)和\(-a\)关于原点对称。
综合以上分析，我们可以得到以下结论：
- 当\(a \neq 0\)时，\(b = -a\)，且\(a\)和\(b\)的取值范围为\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)。
- 当\(a = 0\)时，\(b\)可以取任意实数，因为\(f(x) + f(0) + f(b) = 0\)恒成立。
结论
综上所述，实数\(a\)和\(b\)的取值范围为\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \cup \{0\}\)。